quarta-feira, 10 de junho de 2015

Biografia de Jean-Baptiste Biot


Jean-Baptiste Biot
Jean-Baptiste Biot. Nasceu em Paris, a 21 de Abril de 1774, e, faleceu também em Paris, a 3 de Fevereiro de 1862. Jean-Baptiste Biot foi um físico, astrônomo e matemático francês. No início da década de 1800, estudou a polarização da luz passando através de soluções químicas, bem como as relações entre a corrente elétrica e o magnetismo. A Lei de Biot-Savart, que descreve o campo magnético gerado por uma corrente estacionário, leva esse nome devido à sua colaboração com Félix Savart. Biot graduou-se em engenharia na École Polytechnique de Paris. Em 1797 foi professor de matemática na École Centrale em Beauvais e, em 1800, professor de física no Collège de France em Paris, assim como em 1809 trabalhou como professor de astronomia. Foi um dos primeiros membros da Société d'Arcueil e também membro das três academias de ciências de Paris. Em 20 de agosto de 1804 colaborou com Joseph Gay-Lussac em viagem de balão, alcançando mediante esta expedição um recorde de ascensão, atingindo uma altura de 7.400 metros.



Obras



Biot foi o primeiro a descobrir a única propriedade óptica da mica, e portanto, a biotita, um mineral baseados de mica, recebe esse nome em homenagem a ele. Em 1804 Biot e Joseph Gay-Lussac construíram um balão de ar quente e subiram a mais de 5 quilômetros de altura, o que seria uma das primeiras investigação da atmosfera terrestre. Há uma cratera lunar, a Biot, nomeada também em sua homenagem.



Lei de Biot-Savart



Ilustração representando os
termos envolvidos na Lei de
Biot Savart
A Lei de Biot-Savart é uma equação do Eletromagnetismo que fornece o campo magnético gerado por uma corrente elétrica constante no tempo. Essa equação é válida no domínio da Magnetostática. Podemos dizer que a Lei de Biot-Savart é o ponto de partida para a Magnetostática, tendo assim um papel semelhante à Lei de Coulomb na Eletrostática.





Motivação histórica



Já no século XVII havia, dentro da comunidade científica, a suspeita de que fenômenos elétricos e magnéticos pudessem estar interligados. Isso motivou o físico Hans Christian Oersted a conduzir experimentos para observar o efeito da eletricidade numa agulha magnética. Entre 1819 e 1820, Oersted observou que ao se posicionar um fio condutor de um circuito elétrico fechado paralelamente à agulha, essa sofria uma deflexão significativa em relação à sua direção inicial. Oersted publicou os resultados de seu experimento em julho de 1820, limitando-se a uma descrição qualitativa do fenômeno. A descoberta de Oersted foi divulgada em setembro de 1820 na Academia Francesa, o que motivou diversos estudiosos na França a repetirem e estenderem seus experimentos. A primeira análise precisa do fenômeno foi publicada pelos físicos Jean-Baptiste Biot e Félix Savart, os quais conseguiram formular uma lei que descrevia matematicamente o campo magnético produzido por uma distribuição de corrente elétrica.


A equação


Distribuições unidimensionais


Para distribuições unidimensionais de corrente, a lei de Biot-Savart possui a seguinte forma:

 \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\int \frac{\mathbf{I(r')}\times \mathbf{\hat{\boldsymbol{\eta}}}}{\eta^{2}}dl'

Nessa equação, dl' é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo do trajeto da corrente, \mathbf{I} é o vetor corrente elétrica e \hat{\boldsymbol{\eta}} é o versor ao longo da linha que une o elemento infinitesimal de comprimento dl', cuja posição é \mathbf{r'}, ao ponto de cálculo do campo \mathbf{r}:

\hat{\boldsymbol{\eta}}=\frac{\eta}{|\hat{\boldsymbol{\eta}}|}=\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r'}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|},

e a constante \mu_{0} é a chamada permeabilidade magnética do vácuo.

 

Distribuições bidimensionais


Podemos escrever uma expressão análoga para distribuições bidimensionais de corrente:

 \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\int \frac{\mathbf{K}\mathbf{(r')}\times \mathbf{\hat{\boldsymbol{\eta}}}}{\eta^{2}}da'

Onde \mathbf{K}\mathbf{(r')} é a corrente por unidade de comprimento-perpendicular-ao-fluxo, também chamada densidade superficial de corrente. Escreve-se:

\mathbf{K}\mathbf{(r')} = \frac{d\mathbf{I}}{dl_{\perp}}

 

Distribuições tridimensionais


Para distribuições tridimensionais de corrente:  \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\int \frac{\mathbf{J(r')}\times \mathbf{\hat{\boldsymbol{\eta}}}}{\eta^{2}}d\tau '

Onde \mathbf{J}\mathbf{(r')} é a corrente por unidade de área-perpendicular-ao-fluxo, também chamada densidade volumétrica de corrente. Escreve-se:

\mathbf{J}\mathbf{(r')} = \frac{d\mathbf{I}}{da_{\perp}}

Notamos também que o elemento infinitesimal de comprimento d\mathbf{l'} deve ser substituído pelo elemento infinitesimal de área d\mathbf{a'} no caso de distribuições de corrente bidimensionais, e pelo elemento infinitesimal de volume d\mathbf{\tau'} no caso de distribuições de corrente tridimensionais. Em todos os casos expostos nessa sessão, as correntes envolvidas são estacionárias.


Aplicações


Campo de uma corrente retilínea num fio condutor


Podemos usar a Lei de Biot-Savart para achar o campo magnético que uma corrente estacionária de intensidade passando por um fio retilíneo infinito causa num ponto a uma distância do fio. Pela regra da mão direita vemos que o produto vetorial , para fixo, está contido em círculos de raio em torno do fio. O versor ao longo de tais círculos é representado por . Trabalhando em termos do ângulo :

Como l'= R\tan\theta: dl'= \frac{R}{\cos^{2}\theta}d\theta

E como R=r\cos\theta: \frac{1}{r^{2}}=\frac{\cos^{2}\theta}{R^{2}}

Para um trecho de fio indo de \theta_1 a \theta_2:

\mathbf{B(r)}=\hat{\boldsymbol{\phi}}\frac{\mu_{0}I}{4\pi }\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\left(\frac{\cos^{2}\theta}{R^{2}}\right)\left(\frac{R}{\cos^{2}\theta}\right)\cos\theta d\theta =\hat{\boldsymbol{\phi}}\frac{\mu_{0}I}{4\pi R }\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\cos\theta d\theta=\frac{\mu_{0}I}{4\pi R }(\sin\theta_{2}-\sin\theta_{1})

Se o fio for infinito, então \theta_{1}=-\frac{\pi}{2} e \theta_{2}=\frac{\pi}{2} e a expressão fica apenas: \mathbf{B}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi R }\hat{\boldsymbol{\phi}}

 

Campo no centro de um polígono de n lados


De acordo com o raciocínio empregado anteriormente, o campo gerado no centro de um quadrado por um de seus lados vale:

já que o campo gerado por cada lado aponta na direção perpendicular ao plano do quadrado (ou seja, se o quadrado estiver contido no plano xy, o campo apontará na direção de z positivo). Pelo princípio de superposição, o campo gerado pelo quadrado é apenas a soma dos campos gerados por cada um de seus lados: \mathbf{B(\textrm{centro})}=\sqrt{2}\frac{\mu_{0}I}{\pi R}\mathbf{\hat{z}}

onde R é a menor distância do centro do quadrado até um de seus lados. Podemos generalizar esse resultado para um polígono de n lados fazendo \theta_{1}=-\theta_{2}=-\frac{\pi}{n}. Então obtemos: \mathbf{B}=n\frac{\mu_{0}I}{2\pi R }\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \mathbf{\hat z}

 

Campo de uma espira circular no eixo


Consideremos uma espira circular de raio percorrida por uma corrente estacionária de intensidade . Podemos usar a Lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético a uma distância do eixo. Lembrando que:

No caso da espira circular:  \eta=\sqrt{z^{2}+R^{2}}

Por questões de simetria, sobre o eixo as componentes do campo paralelas ao plano da espira se cancelam, restando apenas a componente ao longo do eixo. Da figura vê-se que: \sin\alpha=\frac{R}{r}=\frac{R}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}

Logo: \mathbf{B}(\text{eixo})=\mathbf{\hat z}\frac{\mu_{0}}{4\pi }I\int\frac{ dl}{\eta^{2}}\sin\alpha  =\mathbf{\hat z}\frac{\mu_{0}}{4\pi}I \frac{R}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}} \int dl=\frac{\mu_{0}}{2}I\frac{R^{2}}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}} \mathbf{\hat z}

 

Direção das linhas de campo magnético


Mesmo quando utilizar a Lei de Biot-Savart para calcular o valor do campo numa região não é a estratégia mais eficiente, ela pode nos dar informações sobre a direção das linhas de campo. Para um elemento infinitesimal de corrente, temos:

d\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{d\mathbf{l}\times \hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}

que nos diz que em cada ponto, o campo magnético terá a direção do pseudo-vetor d\mathbf{l}\times \hat{\mathbf{r}}, que é dada pela regra da mão direita. Se posicionarmos o polegar na direção de um elemento de corrente e curvarmos nossos dedos de forma a envolvê-lo, obteremos a direção das linhas de campo naquele ponto.





Referências